7.9 ¿Por qué hace falta el valor de R2 -ajustado si ya tenemos el de \(R^2\)?
El coeficiente de determinación \(R^2\) es una excelente medida de bondad del ajuste en el ámbito de la regresión simple y también en el de la regresión múltiple cuando se comparan ajustes con el mismo número de variables regresoras. El problema que presenta \(R^2\) es que su valor aumenta siempre al añadir nuevas variables, aunque estas no expliquen nada.
Si usted ajusta un modelo para explicar el peso de las personas a partir de los datos de un conjunto de 50 individuos, puede empezar ajustando el peso en función de la estatura y obtendrá un determinado valor de \(R^2\), si añade una variable que no tiene nada que ver, como el dinero que cada uno lleva en el bolsillo, ¿cómo cambiará \(R^2\)? Pues sí, aumentará. Y si añadimos el número de la casa donde vive cada uno, volverá a aumentar, de manera que, si lo que buscamos es un ajuste con el máximo valor de \(R^2\) vamos a acabar con un modelo grande y enredado, lleno de variables que no explican absolutamente nada, y eso no nos interesa.
Hemos hablado de añadir nuevas variables, pero lo dicho también sirve si se añaden transformaciones de variables ya usadas. En la figura 1 tenemos 4 situaciones en las que 5 puntos son ajustados por un modelo lineal, cuadrático, cúbico y de cuarto grado.
En el último modelo ocurre una gran paradoja. Sin necesidad de conocer los datos se puede afirmar que el ajuste será perfecto, pues así como por dos puntos pasa una única recta, tres puntos se pueden ajustar perfectamente a un polinomio de segundo grado, cuatro puntos a uno de tercer grado, y cinco puntos a uno de grado cuatro. Siempre por \(n+1\) puntos pasará un polinomio de grado \(n\), y el ajuste será “perfecto” sin importar cuales sean los datos. Esto es un verdadero adefesio, ya que este tipo de ecuaciones no tienen ningún poder de predicción, que es lo realmente importante.
Para evitar este problema se ha corregido la definición de \(R^2\), dando origen al coeficiente de determinación ajustado. Simplemente se dividen las sumas de cuadrados por sus grados de libertad. Los grados de libertad de la \(Q_R\) son \(n-p\), y ese valor de \(p\) penaliza la incorporación de nuevas variables. \[ R^2 = 1 - \frac{Q_R}{Q_Y}\;\; \rightarrow \;\; R_{\text{Aj}}^2= 1 - \frac{\frac{Q_R}{n-p}}{\frac{Q_Y}{n-1}} \;\; \rightarrow \;\; R_{\text{Aj}}^2= 1 - \frac{s_R^2}{s_Y^2}\] Cuando la relación \(n/p\) se hace grande, es decir, que el número de datos supera mucho al número de parámetros, los dos coeficientes se acercan en sus valores. Si con \(n=10\) puntos se ajusta un polinomio de grado 8 (\(p=9\)) y resulta un coeficiente de determinación \(R^2= 90\%\), podrá dar la falsa impresión de que estamos ante un buen modelo. Sin embargo, utilizando las fórmulas anteriores es fácil deducir que $R^2 =$0,1, es decir, nos indica que en esas condiciones el valor creíble del coeficiente de determinación es el 10 %. El ajuste es bastante pobre.
Sin embargo, supongamos ahora la misma situación anterior donde lo único que cambia es que se tienen \(n=90\) observaciones. En este caso tenemos \(R^2\text{-Aj} =0,89\). Pasamos del 90 al 89 %, es decir que ha tenido muy poco cambio. Note que en esta ocasión se cumple la recomendación empírica de que haya 10 observaciones por cada parámetro, es decir, que la razón \(n/p\) valga por lo menos 10.
Bonus track
Usted puede construir un modelo que explique perfectamente la cotización en bolsa de las 5 grandes empresas que desee. Tome esas las 5 cotizaciones de hoy (que serán las \(Y\)) seleccione ahora las temperaturas máximas de ayer en 5 capitales europeas (\(X_1\)), el tipo de cambio de las 5 monedas que usted elija frente al dólar (\(X_2\)), los precios de 5 materias primas en el mercado de Londres (\(X_3\)) y la temperatura media en Cali en los últimos 5 días (\(X_4\)). Obtenga el modelo que explica Y en función de \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), \(X_4\). ¡Ajuste perfecto! Lástima que para hoy llega tarde, y para mañana es totalmente inútil.