3.5 ¿Por qué para la distribución Normal solo se necesita la tabla de la N(0; 1)?

Aunque las tablas estadísticas ya son algo del pasado, es interesante ver por qué habiendo infinitas distribuciones Normales (tantas como parejas \(\mu\), \(\sigma\)) basta la tabla de solo una para poder calcular probabilidades en todas ellas.

Lo veremos con razonamientos básicamente geométricos. Sea \(X \sim N(\mu; \sigma)\) y deseamos calcular \(P(X>x)\). Si definimos \(Y = X - \mu\), está claro que \(Y \sim N(0; \sigma)\), y con ayuda de la figura 1 es fácil observar que \(P(X>x)=P(Y>x-\mu)\) ya que la forma de las dos distribuciones es idéntica y al punto \(x\) en la distribución de \(X\) le corresponde \(x-\mu\) en la de \(Y\).

Figura 1: Transformación de \(X \sim N(\mu; \sigma)\) en \(Y \sim N(0; \sigma)\)

Si \(Y \sim N(0; \sigma)\) y \(k\) es una constante, entonces \(kY \sim N(0; k\sigma)\) ya que \(E(kY) = kE(Y) = 0\) y \(V(kY) = k^2 \sigma^2\). Veamos ahora cómo representar la distribución de \(kY\).

Si representamos \(f(Y)\) y \(f(kY)\) utilizando los mismos ejes, las formas de las distribuciones serán distintas, por tener distinto valor de \(\sigma\). Pero también podemos representarlas usando la misma forma para la distribución (la misma campana) y cambiar las escalas de los ejes, tal como se indica en la figura 2.

Recordando que la función densidad de probabilidad de \(Y \sim N(0; \sigma)\) es: \(f(y) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{- \frac{y^2}{2\sigma^2}}\), se deduce que:

\[ f(ky) = \frac{1}{k\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{- \frac{k^2y^2}{2 k^2 \sigma^2}} = \frac{1}{k}f(y) \]

Figura 2: Distribución con \(\sigma\) =1 o con \(\sigma = k\) según la escala

Por tanto, las campanas se pueden representar de forma idéntica multiplicando por \(k\) el eje de abscisas y dividiendo por el mismo valor el de ordenadas (que no hemos representado).

Si hacemos \(k= \frac{1}{\sigma}\) tendremos \(Z = \frac{Y}{\sigma}\), o lo que es lo mismo: \(Z = (X-\mu)/ \sigma\). Por lo comentado anteriormente, la distribución de \(Z\) se puede representar con la misma campana que la utilizada para la distribución de \(Y\) (3).

Figura 3: Transformación de \(Y \sim N(0; \sigma)\) en \(Z \sim N(0; 1)\)}

Si la forma de las campanas es la misma, y solo hemos sustituido el punto \(x - \mu\) por el \(\frac{x - \mu}{\sigma}\), resulta claro que \(P \left( Z > \frac{x -\mu}{\sigma} \right) = P\left( Y > X - \mu \right)\) y, por tanto, \(P\left( X>x\right) = P\left(Z> \frac{x-\mu}{\sigma}\right)\).