4.2 ¿De dónde sale la expresión del intervalo de confianza?
Vamos a empezar con el intervalo de confianza para la media de una población Normal, con desviación típica conocida y calculado a partir de una sola observación.
En la figura 1 tenemos representada la distribución cuya media \(\mu\) se desea estimar. Se han sombreado las colas de forma que la probabilidad de que una observación caiga en esa zona sea igual a \(\alpha\) (\(\alpha\)/2 en cada lado). Por tanto, la probabilidad de que caiga en la zona interior es \(1-\alpha\).
Veamos ahora cuánto vale la distancia desde la media \(\mu\) hasta el punto \(x_{\alpha/2}\) en que empieza la zona sombreada. Como el valor de \(\alpha/2\) es conocido (lo hemos elegido nosotros) podemos determinar el valor de \(Z \sim N(0; 1)\) que deja esa área de cola.
Por otra parte, sabemos que si \(X \sim N(\mu; \sigma)\), entonces \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\) sigue una distribución \(N(0; 1)\), por tanto: \[ z_{\alpha/2} = \frac{x_{\alpha/2} - \mu} {\sigma} \]
De aquí se deduce inmediatamente que la distancia entre \(x_{\alpha/2}\) y \(\mu\) es igual a \(z_{\alpha/2}\sigma\). Si ahora sumamos y restamos esa distancia a un valor (\(x\)) obtenido al azar, tenemos el intervalo: \[x \pm z_{\alpha/2}\sigma \]
Observe que si el valor de \(x\) está en la zona de probabilidad \(1 - \alpha\), tal como ocurre con \(x_1\) y \(x_2\) en la figura 1, el intervalo obtenido incluye el valor de \(\mu\). Sin embargo, si \(x\) cae en la zona de las colas, como ocurre con \(x_3\), el intervalo no llega a alcanzar el valor de \(\mu\). Por tanto, los intervalos calculados con este procedimiento aciertan si el valor obtenido al azar cae en la zona \(1- \alpha\) y esto ocurre una proporción de veces \(1 - \alpha\). Por esta razón se denominan intervalos de confianza \(1 - \alpha\). El valor \(1 - \alpha\) se da normalmente en porcentaje y si \(\alpha = 0,05\) hablaremos de intervalo de confianza del 95%.
¿Y si lo que tenemos no es una única observación sino una muestra?
Construimos el intervalo en torno a la media de la muestra. La media muestral también sigue una distribución Normal con la misma media \(\mu\) que la población pero ahora la desviación típica será \(\sigma /\sqrt{n}\). La media de nuestra muestra, \(\bar{x}\), pertenecerá a la distribución de las medias, así que la expresión del intervalo de confianza ahora será: \[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
¿Y si la población no es Normal?
Si la muestra no es muy pequeña, pongamos que tiene más de 10 observaciones, sabemos que la media también seguirá una distribución aproximadamente Normal. A efectos prácticos puede calcularse el intervalo como si la población fuera Normal.
¿Y si no conocemos el valor de \(\sigma\)?
En este caso hay que sustituir \(\sigma\) por su estimador \(s\) pero este cambio tiene consecuencias porque la distribución de \(\frac{x- \mu}{s}\) ya no es una distribución \(N(0;1)\) sino una \(t\) de Student con los mismos grados de libertad, \(\nu\), que tiene \(s\). Así pues, la expresión del intervalo de confianza queda: \[ \bar{x} \pm t_{\nu;\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \]
Siendo esta es la expresión de uso más habitual del intervalo de confianza para la media de la población.
¿Y si lo que queremos estimar es una proporción?
Proporción y media son más similares de lo que parece. En realidad son lo mismo. Supongamos que hablamos de una proporción de piezas defectuosas, si tenemos 10 piezas y asignamos un 1 a las defectuosas y un 0 a las correctas, podemos tener algo así como: \(0;\;\; 0;\;\; 1;\;\; 0;\;\; 1;\;\; 0;\;\; 0;\;\; 0;\;\; 1;\;\; 0\)
Hay 3 defectos en 10 piezas, una proporción de 0,3, y esa proporción es precisamente la media de los 10 valores.
Cuando los elementos de una población se pueden clasificar en dos grupos: el grupo de interés, con una probabilidad de ocurrencia \(p\) y el resto con una probabilidad \(1-p\), en una muestra de tamaño \(n\) la proporción de elementos que pertenecen al grupo de interés es una variable aleatoria \(\hat{p}\) con media \(p\) y varianza \(p(1-p)/n\).
Si \(n\) no es muy pequeña ni \(p\) muy cercana a 0 o a 1, la variable \(\hat{p}\) se puede aproximar a la distribución Normal. \[ \hat{p} \sim N \left( p; \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right)\]
Siguiendo el mismo razonamiento que conduce a la expresión del intervalo de confianza para \(\mu\), usando el valor de \(\hat{p}\) (el de \(p\) no lo conocemos) llegamos a la siguiente expresión para el intervalo de confianza \(1-\alpha\) para \(p\): \[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]
En todos los casos hemos supuesto que la población es infinita. Esto es lo habitual, ya que la población es un modelo teórico o es tan grande que a efectos prácticos puede considerarse infinita. Si la población es finita las fórmulas cambian un poco, pero eso lo comentamos en la siguiente pregunta.