6.6 ¿Cómo se puede escribir una ecuación para la respuesta con los resultados de un diseño factorial?

Supongamos que tenemos un circuito como el de la figura 1 y deseamos conocer cuál es la intensidad (I) que circula en función del valor de la resistencia (R) y de la fuente de alimentación (V). En un caso como este, la relación es perfectamente conocida: se trata de la ley de Ohm: \(I=V/R\).

Figura 1: Ejemplo de circuito con resistencia

Pero supongamos que no conocemos esa relación y queremos deducirla a través de la experimentación1. Consideremos que nuestra zona de interés se encuentra en valores de entre 6 y 9 voltios para el voltaje y de entre 2 y 4 ohmios para la resistencia, siendo razonable la aproximación lineal entre esos valores. En este caso bastará con realizar un diseño \(2^2\) en el que, ignorando la existencia del error experimental, se obtendrían los resultados que se indican a continuación:

V R I
6 2 3,00
9 2 4,50
6 4 1,50
9 4 2,25

Usando un paquete de software estadístico para calcular los efectos o, en un caso tan sencillo, también a mano, se obtiene: \[ \text{Media}=2,8125\;\;\;\; V=1,125 \;\;\;\; R=-1,875 \;\;\;\; VR = -0,375 \]

Los efectos indican cuánto cambia la respuesta al pasar el factor del nivel –1 al +1; por tanto, el cambio al aumentar en 2 unidades –codificadas– el valor del factor. Sin embargo, los coeficientes de una ecuación de regresión indican cuánto cambia la respuesta al aumentar en una unidad la variable regresora.

La ecuación para explicar el comportamiento de la respuesta se escribe colocando el valor medio como constante y corrigiendo esa media general con el valor de los factores (el subíndice C indica que están codificados con los valores –1 y +1) acompañados de unos coeficientes que son los valores de los efectos divididos por 2. En nuestro caso, la ecuación tendrá la forma:

\[ I = \text{Media} + \frac{\text{Efec. ppal. }V}{2}V_C + \frac{\text{Efec. ppal. }R}{2}R_C + \frac{\text{Interac.}VR}{2}V_C R_C \]

Y sustituyendo queda: \[ I = 2,8125+0,5625V_C - 0,9375R_C - 0,1875V_CR_C \]

Pero, tal como se ha comentado, en esta ecuación los valores de \(V\) y \(R\) deben introducirse codificados, ya que al calcular los efectos se ha considerado que los valores tanto para \(V\) como para \(R\) eran –1 y +1, sin tomar en consideración a qué valores (en voltios y en ohmios) corresponden esos niveles.

Así, si queremos saber cuál será el valor de la intensidad para \(V=9 V\) y \(R=2 \Omega\), deberemos sustituir \(V_C\) por +1 (9 \(V\) es el nivel + de esta variable) y \(R_C\) por –1 (2\(\Omega\) es el nivel – para \(R\)), obteniendo: \[\begin{equation*} \begin{split} I &= 2,8125 + 0,5625(+1) - 0,9375(-1) - 0,1875(+1)(-1)\\ I &= 4,5 \end{split} \end{equation*}\]

Para tener la ecuación en las unidades originales de \(V\) y \(R\) es necesario decodificarlas. Para ello usamos la expresión: \[ X_C = -1 + 2 \left( \frac{X-X_{(-)}}{X_{(+)}-X_{(-)}} \right) \] Siendo \(X\) el valor de la variable sin codificar y \(X_{(+)}\), \(X_{(-)}\) sus niveles alto y bajo respectivamente. Aplicando esta transformación a nuestro modelo, tenemos:

\[\begin{equation*} \begin{split} I = 2,8125 &+ 0,5625 \left[-1+2 \left( \frac{V-6}{3} \right) \right] \\ &+ 0,9375 \left[-1+2 \left( \frac{R-2}{2} \right) \right] \\ &- 0,1875 \left[-1+2 \left( \frac{V-6}{3} \right) \right] \left[-1+2 \left( \frac{R-2}{2} \right) \right] \end{split} \end{equation*}\]

Y operando se llega a: \[ I = \frac{3}{4}V-\frac{1}{8}VR \]

El modelo es una aproximación a la realidad. La figura 2 compara la superficie que corresponde a la relación real (curvada) con la obtenida a través del diseño \(2^2\) que es una superficie plana apoyada en las cuatro esquinas de la superficie real.

Figura 2: Superficie que corresponde a la relación real (curvada) junto a la obtenida mediante un diseño \(2^2\)

Observación interesante

¿Qué ocurriría si en vez de la resistencia se mide la conductancia (su inversa: \(G = 1/R\))? Ahora la fórmula es \(I = V \cdot G\), y la tabla de resultados de la experimentación será:

V G I
6 0,25 1,50
9 0,25 2,25
6 0,50 3,00
9 0,50 4,50

Obteniéndose los efectos: \[ \text{Media}=2,8125\;\;\;\; V=1,125 \;\;\;\; G=1,875 \;\;\;\; VG = 0,375 \]

Y a partir de los efectos podemos escribir el modelo: \[ I = 2,8125 + 0,5625V_C + 0,9375G_C + 0,1875 V_CG_C \]

Siendo ahora la expresión con las variables originales: \[\begin{equation*} \begin{split} I = 2,8125 &+ 0,5625 \left[-1+2 \left( \frac{V-6}{3} \right) \right] \\ &- 0,9375 \left[-1+2 \left( \frac{G-0,25}{0,25} \right) \right] \\ &- 0,1875 \left[-1+2 \left( \frac{V-6}{3} \right) \right] \left[-1+2 \left( \frac{G-0,25}{0,25} \right) \right] \end{split} \end{equation*}\]

Y esta expresión, después de operar y simplificar, se reduce a:

\[I = VG \]

En este caso el modelo obtenido coincide perfectamente con la realidad. Es interesante observar cómo la selección de una métrica adecuada para los factores (medir la conductancia en vez de la resistencia) influye de forma importante en la bondad del modelo obtenido.

  1. En general, mediante la experimentación no se pretende deducir la relación funcional exacta, sino una aproximación que resulte útil para cumplir los objetivos que se hayan planteado.↩︎