7.6 ¿Por qué los coeficientes de una ecuación de regresión son variables aleatorias?
Si usted coloca un conjunto de puntos en un plano, por ejemplo (2; 3), (4; 3), (6; 7) y (8; 7), de forma que aquí no hay variables aleatorias ni ningún tipo de variabilidad, obtendrá que la recta que mejor se ajusta a estos puntos es: \(Y = 1 + 0,8X\). Si los datos de partida son considerados números fijos, los coeficientes de la ecuación también lo son, y no hay más que decir. Pero esta no es la situación que nos planteamos cuando tratamos este tipo de problemas desde un punto de vista estadístico.
Lo veremos con un ejemplo. Entre la estatura y el peso hay una cierta relación, las personas más altas pesan más, en términos generales, que las más bajas, así que podríamos plantearnos hallar la ecuación que define esa tendencia al aumento de peso con la estatura. Naturalmente no podremos medir y pesar a todas las personas del mundo, sino que tomaremos una muestra, por ejemplo de 20 individuos, a los que mediremos su peso y estatura, y a partir de estos valores calcularemos la ecuación que andamos buscando.
Estaremos de acuerdo en que si en vez de las personas elegidas hubiésemos tomado otras 20, la ecuación obtenida sería distinta. Esto es así porque dada una estatura, el peso no es fijo, sino una variable aleatoria que suponemos con distribución Normal. La figura 1 muestra 6 situaciones de este tipo, en las que las estaturas son valores que se han generado aleatoriamente de una N(170; 8) y los pesos se han calculado de la forma \(Peso = Estatura - 100 + \varepsilon\), siendo \(\varepsilon\) un número aleatorio tomado de una N(0; 5). Se ve claramente que aunque la relación es la misma, la variabilidad en el peso para una estatura dada, provoca que las rectas sean distintas.
Si \(\varepsilon\) tiene unas ciertas propiedades, los coeficientes de la ecuación siguen una distribución Normal, con una media que coincide con el valor que se obtendría si se utilizaran los datos de toda la población (bonita propiedad) y una desviación típica que se puede calcular con base en la variabilidad de los residuos.
Esto nos permite plantear pruebas de significación para los coeficientes (por ejemplo: ¿es la pendiente lo suficientemente distinta de cero para poder afirmar que existe relación entre \(X\) e \(Y\)?). También se pueden calcular intervalos de confianza para la media de \(Y\) dado un valor de \(X\) (en nuestro caso la media del peso dado un valor de la estatura). El valor medio del peso para una determinada estatura es el que cae en la recta, pero como esta recta no es única lo más adecuado es dar un intervalo, que estará relacionado con la superposición de todas las posibles rectas que se podrían calcular. Los libros explican que este intervalo es más estrecho en el centro, en nuestro caso en torno al punto (170; 70) y que se va ensanchando hacia los extremos. Esto se puede comprobar superponiendo los 6 gráficos de la figura 1, obteniéndose el resultado que se observa en la figura 2 (izq). Para verlo todavía más claro también lo hemos hecho superponiendo 50 situaciones similares a las descritas, obteniéndose la figura de la derecha.
En definitiva, si a partir de una muestra ajustamos una recta para explicar la relación entre dos variables, \(X\) e \(Y\), la recta obtenida no se puede considerar fija y única para explicar la relación entre \(X\) e \(Y\), ya que si la muestra hubiera sido otra, la recta también sería otra. La buena noticia es que haciendo determinados supuestos sobre el comportamiento de esas variables se puede deducir cuales son las distribuciones teóricas a que pertenecen los coeficientes de la recta, y esto nos permite realizar pruebas de significación o calcular intervalos de confianza para los valores que tomarían si se hubiera utilizado toda la población.