2.10 ¿Para qué sirve la curtosis?
La curtosis es una medida de las llamadas “de forma” que cuantifica lo esbelta o aplanada que es una distribución de probabilidad (versión poblacional) o su equivalente cuando se refiere a un conjunto de datos (versión muestral). Se toma como referencia el valor que corresponde a la distribución Normal. Si una distribución tiene una curtosis mayor que la Normal hay que interpretarlo como que su parte central es más picuda (con más “apuntamiento”), y si el valor es menor será más plana, lo cual se traduce en que sus colas son más “pesadas”, es decir, que es más probable encontrar valores alejados de la media.
Sobre cuál es el valor de la curtosis para la distribución Normal existen dos criterios. Su fórmula definida de forma natural es: \(E[(X-\mu)^4]/\sigma^4\) y para la Normal, con independencia del valor de sus parámetros, da un valor igual a 3. Para tomar este valor como referencia, también se define como la expresión anterior menos 3, de forma que para la Normal es igual a cero. Cuando se dan valores de la curtosis, no siempre está claro cuál es el criterio con que se ha calculado. Algunos textos se refieren a la curtosis como el resultado de aplicar la expresión anterior y al como ese valor menos 3.
A pesar de que la curtosis está relacionada con la forma de la distribución, no es una medida de variabilidad. Una distribución uniforme definida en el intervalo (\(-\sqrt{3};\; \sqrt{3}\)) tiene \(\mu\) = 0 y \(\sigma\) = 1, al igual que una N(0; 1), pero la uniforme tiene una curtosis de 9/5, mientras que en la Normal es igual a 3.
En la mayoría de paquetes estadísticos cuando se piden las estadísticas descriptivas, además de las típicas medidas de tendencia central y de dispersión se obtiene la curtosis y su inseparable compañero, el coeficiente de asimetría (en inglés ), que seguramente son las medidas menos atendidas.
¿Para qué sirven? Ambas son útiles para caracterizar las distribuciones de probabilidad a nivel teórico, especialmente en campos como los mercados financieros, o en hidrología, donde los valores extremos se dan con mayor probabilidad que en la distribución Normal y pueden tener consecuencias muy importantes. También juegan un papel destacado en algunas situaciones en las que para evaluar la robustez de un método o de un estimador, conviene probar con distribuciones de colas livianas y de colas pesadas, es decir, con distinta curtosis.
Sin embargo, tienen poco interés para describir la forma que presentan los valores de una muestra. Es mejor hacer un gráfico, como un diagrama de puntos o un histograma. El gráfico no puede ser sustituido por estas medidas, que tampoco aportan nada relevante cuando ya se tiene.
Además, son malos estimadores de los valores correspondientes a la población. La figura 1 muestra los valores de la curtosis obtenidos por simulación de muestras de tamaño 10, 20, 50 y 100, de una población exponencial con \(\lambda\)=1, a la que corresponde una curtosis igual a 9. Ya se ve que la estimación es sesgada, especialmente con muestras pequeñas, pero incluso con muestras tan grandes como n=100, un porcentaje muy alto de las estimaciones subestiman la curtosis verdadera. También se observa mucha variabilidad en los resultados, ya que los valores extremos afectan mucho al aparecer en la fórmula elevados a la cuarta potencia.
Si lo que pretendemos es utilizar los valores de la curtosis y el coeficiente de asimetría para predecir el tipo de distribución de la que provienen los datos, también lo tenemos mal. La figura 2 muestra los valores de ambas medidas calculadas para 100 muestras de tamaño \(n = 50\) de la misma distribución exponencial que hemos usado antes. Los verdaderos valores de la distribución (Curtosis = 9; Asimetría = 2) están marcados con un cuadrado rojo. Ya se ve que los valores muestrales no permiten identificar este punto como aquel que representa los parámetros que se están estimando.
En resumen tanto la curtosis como el coeficiente de asimetría forman parte de las señas de identidad de una distribución de probabilidad y tienen interés en el marco de la caracterización de los modelos teóricos, pero como medidas descriptivas son muy poco fiables.