3.9 ¿Cómo se relaciona la varianza muestral con la distribución Chi-cuadrado?

Utilizaremos la definición de \(\chi^2\) con \(\nu\) grados de libertad como \(\sum_{i=1}^{\nu} z_{i}^2\), siendo las \(z_i\) variables aleatorias independientes con distribución \(N(0;1)\). Respecto a la notación utilizada consideraremos que \(X \sim N(\mu;\sigma)\) y que \(\bar{X}\) y \(S^2\) son la media y la varianza de muestras aleatorias de tamaño \(n\). Tenemos:

\[\begin{equation*} \begin{split} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 &= \sum_{i=1}^n \left[ (X_i-\bar{X})+(\bar{X}-\mu) \right]^2\\ &= \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2+2(\bar{X}-\mu) \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})+ \sum_{i=1}^n (\bar{X}-\mu)^2 \\ \end{split} \end{equation*}\]

Y como \(\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})=0\) y \((\bar{X}-\mu)^2\) es una constante, se obtiene que: \[\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 + n(\bar{X}-\mu)^2\]

Como \(S^2= \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{n-1}\) podemos escribir:

\[\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 = S^2(n-1)\]

Sustituyendo en la expresión anterior y dividiéndolo todo por \(\sigma^2\):

\[\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} = \frac{S^2(n-1)}{\sigma^2}+ \frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/n} \]

Aceptando que los dos sumandos que aparecen a la derecha corresponden a variables aleatorias independientes, tenemos:

\[\sum_{i=1}^{n} z_{i}^2 = \frac{S^2(n-1)}{\sigma^2}+z^2\]

Y dado que la suma de variables aleatorias independientes distribuidas según \(\chi^2\) sigue también esta misma distribución con un número de grados de libertad igual a la suma de los grados de libertad de las distribuciones sumadas, se espera que si por un lado \(\sum_{i=1}^{n} z_{i}^2 \sim \chi_{n}^2\;\) y por otro \(z^2 \sim \chi_{1}^2\), entonces:

\[\frac{S^2(n-1)}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2\]