7.2 ¿De dónde sale la fórmula del coeficiente de correlación?
Simplemente se divide la expresión de la covarianza por el producto de las desviaciones típicas de las dos variables \(X\) e \(Y\). Es fácil comprobar que desaparecen los denominadores tanto de la covarianza como de las desviaciones típicas, quedando: \[ r = \frac{\sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right ) \left ( y_i - \bar{y} \right ) } {\sqrt {\sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right )^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n \left ( y_i - \bar{y} \right )^2 }} \]
Con esta sencilla transformación se resuelven los problemas de la covarianza: su valor ya no depende de las unidades usadas y además queda acotado entre -1 y 1 (correlación perfecta negativa y positiva respectivamente).
Que desaparecen las unidades es evidente, puesto que en el numerador tenemos las mismas que en el denominador, pero ver que está acotado entre -1 y 1 exige una mirada más detenida.
Si la correlación es perfecta todos los puntos estarán alineados según una recta, es decir: \(y_i =a+bx_i\). Además, seguro que1: \(\bar {y} =a+b \bar{x}\). Así pues, podemos escribir el numerador de la expresión de \(r\) de la forma:
\[\begin{equation*} \begin{split} \sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right ) \left ( y_i - \bar{y} \right ) &= \sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right ) \left ( a+bx_i - (a+b\bar{x}) \right ) \\ &= \sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right ) b \left ( x_i - \bar{x} \right ) = b \sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right )^2 \end{split} \end{equation*}\]Con un razonamiento similar, en el denominador podemos escribir el término en que aparecen los valores \(y_i\) de la forma:
\[\begin{equation*} \begin{split} \sqrt{\sum_{i=1}^n \left ( y_i - \bar{y} \right )^2 } &= \sqrt{\sum_{i=1}^n \left ( a+bx_i - ( a+b \bar{x} ) \right )^2 } = b \sqrt{ \sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right )^2 } \\ \end{split} \end{equation*}\]Recuperando el término correspondiente a los valores de \(x\), el denominador nos queda: \[ \sqrt {\sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right )^2} \cdot b \sqrt{\sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right )^2 } = b \sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right )^2 \]
Igual que el numerador, aunque con la diferencia de que su valor seguro que es positivo (proviene de un producto de desviaciones típicas) mientras que el valor de \(b\) en el numerador será positivo o negativo según sea el signo de la pendiente de la recta.
Así pues, si los puntos se alinean según una recta, el valor del coeficiente de correlación será -1 o 1 según la pendiente sea negativa o positiva.
Otra forma de verlo, que además sirve para probar que \(r\) no puede estar fuera de ese intervalo, es usando la expresión del coeficiente de determinación \(R^2\): \[R^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}( \hat{y_i} - \bar{y} ) ^2}{\sum_{i=1}^{n}( y_i - \bar{y})^2} \]
Este coeficiente solo puede variar entre 0 y 1. Es igual a 0 cuando los valores estimados \(\hat{y_i}\) siguen una recta horizontal, es decir, cuando la predicción de \(y\) no depende del valor de \(x\), y es igual a 1 cuando la explicación es perfecta: todos los valores previstos \(\hat{y_i}\) coinciden con sus correspondientes valores reales \(y_i\). En el numerador tenemos:
\[\begin{equation*} \begin{split} \sum_{i=1}^{n}( \hat{y_i} - \bar{y} ) ^2 &= \sum_{i=1}^{n}( b_0 + b_1 x_i - \bar{y} ) ^2 = \sum_{i=1}^{n}( \bar{y} - b_1 \bar{x}+ b_1 x_i - \bar{y} ) ^2 \\ &= b_1^2 \sum_{i=1}^n \left ( x_i - \bar{x} \right )^2 \\ \end{split} \end{equation*}\]Sustituyendo el numerador de \(R^2\) por esta nueva expresión:
\[\begin{equation*} \begin{split} R^2 &= b_1^2 \cdot \frac{\sum( x_i - \bar{x} ) ^2}{\sum( y_i - \bar{y})^2} = \frac{\left[ \sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \right]^2}{\left [\sum (x_i- \bar{x})^2 \right]^2} \cdot \frac{\sum ( x_i - \bar{x} ) ^2}{\sum ( y_i - \bar{y})^2} =\\[10pt] &= \left[ \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}} \right] ^2 = r^2\\ \end{split} \end{equation*}\]Si \(R^2\) puede variar entre 0 y 1, está claro que \(r\) solo puede hacerlo entre -1 y 1.
Si todos los puntos están sobre la recta: \(\sum y_i = \sum (a+bx_i) \rightarrow n\bar{y} = na + bn \bar{x}\)↩︎