3.10 ¿Por qué no es lo mismo sumar \(k\) veces una variable aleatoria que multiplicarla por \(k\)?
El resultado es el mismo cuando las cantidades a las que nos referimos son magnitudes constantes. Para saber cuántos huevos hay en 8 docenas, como el número de huevos en una docena es una constante, podemos sumar 12 huevos 8 veces o multiplicar 12 por 8 (¡evidente!). Pero si lo que tenemos es una variable aleatoria, como el peso de un huevo, esto ya no es verdad.
No es lo mismo el peso de una docena de huevos que el peso de un huevo multiplicado por 12 porque aunque estas dos variables tienen el mismo valor medio no tienen la misma variabilidad y, por tanto, no podemos decir que son iguales.
Para entender por qué esto es así, aclararemos en primer lugar el significado de la notación que vamos a utilizar. Llamaremos \(X\) a la variable aleatoria que consideramos (en nuestro ejemplo es el peso de un huevo), podríamos decir que \(X\) se distribuye según una Normal, pero no necesitamos hacer referencia a ninguna distribución en concreto, solo hay que tener claro que no es un valor fijo, sino una variable aleatoria. Si tomamos una docena, designaremos los pesos como \(X_1, X_2, \ldots, X_{12}\). Cada una de las \(X_i\) es una variable aleatoria con la misma distribución que \(X\). En realidad son extracciones de la misma población, el subíndice solo indica el orden en que se extraen.
Echando mano de las fórmulas correspondientes y suponiendo que los 12 pesos son independientes, tendremos que la esperanza matemática y la varianza del peso de una docena será:
\[E(X_1+X_2+\ldots+X_{12})=E(X_1)+\ldots+E(X_{12})=12 \cdot E(X)\] \[V(X_1+X_2\ldots+X_{12})=V(X_1)+ \ldots+V(X_{12})=12 \cdot V(X)\]
Pensemos ahora en la variable “peso de un huevo multiplicado por 12”, es decir, la variable \(12X\). Ahora tendremos:
\[E(12X)=12 \cdot E(X)\]
\[V(12X)=12^2 \cdot V(X)=144 \cdot V(X)\]
Vamos a ver que estas fórmulas reflejan lo que ocurre en la realidad a través de una mirada intuitiva al problema. Cuando formamos una docena de huevos, aunque tomemos uno singularmente pequeño no hay que temer que esta docena salga con un peso muy por debajo del valor medio, ya que seguramente también habrá otros con un peso por encima de lo normal de forma que los más grandes compensarán el peso de los más pequeños y viceversa.
Sin embargo, en la variable “peso de un huevo multiplicado por 12”, si el huevo elegido resulta ser pequeño, es como tener una docena de huevos pequeños, y si es grande sería como una docena de huevos grandes, con lo que tendremos pesos totales con más dispersión que en el caso anterior (en este caso no se compensan los grandes con los pequeños).
Por tanto, tiene más dispersión la variable aleatoria “peso de un huevo multiplicado por 12” que la variable “peso de una docena”. Y si la variabilidad es distinta, evidentemente las variables son distintas.