3.7 ¿De dónde sale la fórmula de la distribución de Poisson?

Vamos a partir de la distribución binomial cuando el número de pruebas \(n\) tiende a infinito y la probabilidad de éxito \(p\) tiende a cero, manteniéndose constante el valor \(np\) al que llamamos \(\lambda\).

Sabemos que si \(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n\), \(p\):

\[\begin{equation*} \begin{split} P(X=x) &=\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \frac{n!}{x!(n-x)!} \left(\frac{\lambda}{n} \right )^{x} \left(1-\frac{\lambda}{n} \right )^{n-x}\\ &=\frac{n(n-1) \ldots (n-x+1)}{x!} \cdot \frac{\lambda^{x}}{n^x} \cdot \left(1-\frac{\lambda}{n} \right )^{n} \left(1-\frac{\lambda}{n} \right)^{-x}\\ &= \underbrace{\vphantom{\left(1-\frac{\lambda}{n} \right )^{-x}} \frac{n(n-1)\ldots(n-x+1)}{n^x} }_1 \cdot \underbrace{\vphantom{\left(1-\frac{\lambda}{n} \right )^{-x}} {\frac{\lambda^x}{x!}}}_2 \cdot \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n} \right )^{n}}_3 \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n} \right )^{-x}}_4 \end{split} \end{equation*}\]

En el primer paso simplemente se ha sustituido \(p\) por \(\lambda/n\). A continuación se simplifica la expresión del número combinatorio y se realizan cambios evidentes. Finalmente se intercambian los valores de \(n^x\) y \(x!\) en los denominadores de los dos primeros términos y dividimos la expresión en cuatro partes que analizamos a continuación:

Parte 1:

\[\begin{equation*} \begin{split} \frac{n(n-1)\ldots(n-x+1)}{n^x} &=\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n}\ldots\frac{n-x+1}{n}= \\ &=1 \cdot\left(1-\frac{1}{n} \right) \left(1-\frac{2}{n} \right) \ldots \left(1-\frac{x-1}{n} \right) \end{split} \end{equation*}\]

Está claro que si \(n \to \infty\) manteniéndose \(x\) constante, cada uno de los términos tiende a 1 y, por tanto: \[\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1) \ldots (n-x+1)}{n^x} =1 \]

Parte 2:

La expresión \(\frac{\lambda^x}{x!}\) la dejamos tal como está.

Parte 3:

El análisis de esta tercera parte va a ser un poco más largo. Partiremos de la definición del número \(e\) como \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\) e intentaremos poner nuestra expresión de una forma parecida a esta.

Para empezar puede comprobarse que se verifica: \[\left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^n = \left [\left( 1-\frac{1}{n/\lambda} \right)^{\frac{-n}{\lambda}} \right ]^{-\lambda}\] Operando solo con la expresión del interior del corchete: \[\left( 1-\frac{1}{n/\lambda} \right)^{\frac{-n}{\lambda}}=\left( \frac{n/\lambda}{n/\lambda}-\frac{1}{n/\lambda} \right)^{\frac{-n}{\lambda}} = \left( \frac{n/\lambda-1}{n/\lambda} \right)^{\frac{-n}{\lambda}} = \left( \frac{n/\lambda}{n/\lambda-1} \right )^{\frac{n}{\lambda}}\] y también podemos hacer:

\[\begin{equation*} \begin{split} \left(\frac{n/\lambda}{n/\lambda-1} \right)^{\frac{n}{\lambda}}&=\left(1+\frac{1}{n/\lambda-1} \right)^{\frac{n}{\lambda}} =\\ &= \left(1+\frac{1}{n/\lambda-1} \right)^{\frac{n}{\lambda}-1} \cdot \left(1+\frac{1}{n/\lambda-1} \right) \end{split} \end{equation*}\]

Obsérvese que siendo \(\lambda\) una constante, cuando \(n \to\infty\) también \((n/\lambda-1) \to\infty\). Por tanto el primer factor de la última expresión es igual a \(e\) cuando \(n \to\infty\). El segundo factor evidentemente es igual a 1 cuando \(n \to\infty\), por tanto:

\[ \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^n = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left [\left( 1-\frac{1}{n/\lambda} \right)^{\frac{-n}{\lambda}} \right ]^{-\lambda} = e^{-\lambda} \]

Parte 4:

En esta última parte resulta claro que \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{\lambda}{n} \right)^{-x} =1.\)

Recopilando resultados, se obtiene que, bajo las condiciones \(n \to\infty\), \(p \to 0\) y \(np = \lambda\) constante, se verifica que:

\[P(X=x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}\]